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上箭號表示法
類型 3個參數
基於 冪次
增長率 \(f_{\omega}(n)\)

上箭號表示法(英語:Up-arrow notation),也可直接稱箭號表示法,為高德納於1976年發明的大數表示法。這種表示法以超運算為基礎,定義如下:

  • \(a \uparrow^1 b = a^b\)
  • \(a \uparrow^n 1 = a\)
  • \(a \uparrow^n b = a \uparrow^{n-1} (a \uparrow^n (b-1))\)

\(a \uparrow^n b\) 為 \(a \uparrow\uparrow...\uparrow b\) 的縮寫(其中 \(\uparrow\) 有n個,n為正整數)。例如 \(a \uparrow^2 b = a \uparrow\uparrow b\) 。

這種表示法符合右結合律,不符合左結合律,例如 \(2 \uparrow 3 \uparrow 4 = 2 \uparrow (3 \uparrow 4) \neq (2 \uparrow 3) \uparrow 4\) 。

以超運算而言, \(a \uparrow b\) 相當於超-3運算(即), \(a \uparrow\uparrow b\) 相當於超-4運算(即迭代冪次),依此類推。在ASCII中,這些符號分別寫成a^b, a^^b, ...

使用箭號的表示法還有鏈式箭號表示法

例子编辑

  • \(2 \uparrow 3 = 2^3 = 8\)
  • \(5 \uparrow 6 = 5^6 = 15625\)
  • \(10 \uparrow 100 = 10^{100} =\) 古戈爾
  • \(3 \uparrow\uparrow 4 = 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \uparrow 3 = 3 \uparrow 3 \uparrow 27 = 3^{7625597484987}\)
  • \(5 \uparrow\uparrow 3 = 5 \uparrow 5 \uparrow 5 = 5^{5^5}\)
  • \(2 \uparrow\uparrow\uparrow 2 = 2 \uparrow\uparrow 2 = 2 \uparrow 2 = 2^2 = 4\)
  • \(3 \uparrow\uparrow\uparrow 2 = 3 \uparrow\uparrow 3 = 3 \uparrow 3 \uparrow 3 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7625597484987\)
  • \(2 \uparrow\uparrow\uparrow 3 = 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 2 = 2 \uparrow\uparrow 4 = 2 \uparrow 2 \uparrow 2 \uparrow 2 = 2 \uparrow 2 \uparrow 4 = 2 \uparrow 16 = 65536\)
  • \(3 \uparrow\uparrow\uparrow 3 = 3 \uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow 3 = 3 \uparrow\uparrow 7625597484987 =\) 特利特利

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