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超E符號
基於 冪次
增長率 \(f_{\omega}(n)\)

超E符號(英語:Hyper-E Notation,簡稱E#)是由Sbiis Saibian設計的一個大數符號。這個記號首次在2011年11月19日於他的網路電子書從一到無窮大:有限數的指南被介紹,同時也推廣到了擴展超E符號(英語:Extended Hyper-E Notation,簡稱xE#)。超E符號是Sbiis Saibian於孩童時期所發明的符號的改進版。

E#和xE#都包含在更大的記號中,即擴展-E系統,這也包括連鎖E符號

Nathan Ho和Wojowu證明了超E符號最終會終止。

原始定義编辑

原始超E符號是由一個或多個正整數參數「an」及分隔參數的海柏利昂「#」所組成的。此記號寫起來會長成這樣:E[b]a1#a2#...#an。其中b是底數,如果它被忽略,那麼代表它等於預設值10。「E[b]d」也可表示為「b^d」。

超E符號的三條規則如下:

  • 規則1. 如果沒有海柏利昂:
    \(E[b]x = b^x\)
  • 規則2. 如果最後一項是1:
    \(E[b]{a_1}\#{a_2}\#\cdots\#{a_n}\#1 = E[b]{a_1}\#{a_2}\#\cdots\#{a_n}\)
  • 規則3. 否則:
    \(E[b]{a_1}\#{a_2}\#\cdots\#{a_{n-2}}\#{a_{n-1}}\#{a_n}\)
    \(= E[b]{a_1}\#{a_2}\#\cdots\#{a_{n-2}}\#(E[b]{a_1}\#{a_2}\#\cdots\#{a_{n-2}}\#{a_{n-1}}\#({a_n-1}))\)

如果以中文來表達的話,就是:

  1. 如果只有一個參數x,整個表達式的值為bx
  2. 如果最後一項是1,它可以被去除。
  3. 否則:
    1. 複製原表達式,但將最後一項減去1,將此表達式設為z。
    2. 將表達式的最後兩項去除。
    3. 在表達式的最後添加z這項參數。

擴展定義编辑

Template:Function 擴展超E符號允許每個參數間出現多個海柏利昂。在參數an後出現的海柏利昂個數均會以h(n)表示。另外,#n代表連續n個海柏利昂標識。一個完整的表達式應當會寫成E[b]a1#h(1)a2#h(2)...#h(n-1)an。另外,Saibian使用「@」表示不需操作、可以被忽略的表達式,就如同鮑爾斯的「#」一般。

原始和擴展符號的不同之處,在於擴展超E符號允許多於一個且連續的#。

為方便定義,這裡假設p = an-1, q = an, x = h(n-1):

  • 規則1. 如果沒有hyperions:
    \(E[b]q = b^q\)
  • 規則2. 如果最後一項是1:
    \(@\#^{x}1 = @\)
  • 規則3. 如果x > 1:
    \(@p\#^{x}q = @p\#^{x-1}(p\#^{x}(q-1))\)
  • 規則4. 否則:
    \(@p\#q = @(@p\#(q-1))\)(注意\(\#^1 = \#\))

也可以把這些規則寫成中文:

  1. 如果只有一個參數x,整個表達式的值為bx
  2. 如果最後一項是1,它可以被去除。
  3. 設h為最後一個海柏利昂標識的長度。如果h > 1:
    1. 去除表達式的最後一項,並設那項為r。
    2. 再次去除新表達式的最後一項,並設那項為z。
    3. 此時複製出r個z,在每個z之間都接上h-1個海柏利昂標識。將此添加到表達式的結尾。
  4. 如果最後一個海柏利昂標識的長度為1:
    1. 複製原表達式,但將最後一項減去1,將此表達式設為z。
    2. 將表達式的最後兩項去除。
    3. 在表達式的最後添加z這項參數。

例子编辑

  • E[10]6 = E6 = E6#1 = 106 = 百萬
  • E[10]100 = E100 = E100#1 = 10100 = 古戈爾
    這是只有一個參數並應用規則1的例子。由於底數的預設值為10,我們可以將E[10]100縮寫為E100。
  • E100#2 = E(E100#1) = E10100 = 1010100 = 古戈爾普勒克斯
  • E100#3 = E(E100#2) = E1010100 = 101010100 = 古戈爾度普勒克斯
    這是有兩個參數並應用規則3(在擴展定義為規則4)的例子。在第一個等號右邊的表達式中,括號可以被省略,例如:E(E100#1) = EE100#1。
  • E303#1 = E303 = eceton = centillion = 10303
  • E303#2 = ecetonplex = EE303 = 1010303
  • E303#3 = EEE303 = 101010303 = ecetonduplex
  • E1#3 = EEE1 = 1010101 = trialogue
  • E1#4 = EEEE1 = 10101010 = tetralogue
  • E1#10 = EEEEEEEEEE1 = 10^^10 = Decker
  • E303#6 = EEEEEE303 = 101010101010303 = ecetonquintiplex
  • E1#100 = EEE...EEE1 (100 E's) = giggol
    這是規則3的重複應用:E1#100 = EE1#99 = EEE1#98 = ...
  • E100#100 = EEE...EEE100 (100 E's) = grangol
    這和E1#100基本相同,差別在於第一項不同。
  • E100#101 = EEE...EEE100 (101 E's) = grangolplex
    E100#101 = EE100#100 = 10grangol,故名。
  • E100#100#2 = E100#(E100#100) = EEE...EEE100 (grangol E's) = grangoldex
    現在表達式開始有三項數字。
  • E100#100#3 = E100#(E100#100#2) = E100#(E100#(E100#100)) = EEE...EEE100 (grangoldex E's) = grangoldudex
    增加第三項的值,使嵌套越來越深。
  • E100#100#100#100 = E100#100#(E100#100#100#99) = E100#100#(E100#100#(E100#100#100#98)) = ... gigangol
    這是四項表達式,但運作方式仍然類似。嵌套會越來越深。這也可以寫為E100##4,一個新的層次的開始。
  • E100##100 = E100#100#100#...#100#100#100 with 100 repetitions of 100 = gugold
    現在已經到達擴展超E符號。兩個連續的海柏利昂標記(雙海柏利昂)是較低層次的重複。
  • E100##100#100 = graatagold
    可以通過反覆應用規則4來簡化為Ea##b
  • E100##100##100 = E100##100#100#...#100#100 with 100 repetitions of 100 = gugolthra
    在##的後面所有100都已經解決後,第一個##才會被展開。
  • E100###100 = E100##100##...##100##100 with 100 repetitions of 100 = throogol
    三超標記(三海柏利昂)是雙超標記的重複。雙超標記從右到左解決。
  • E100####100 = E100###100###...###100###100 with 100 repetitions of 100 = teroogol
    四超標記分解成三超標記。
  • Godgahlah = E100#####...#####100 with 100 hyperion marks or E100#100100
    100超標記分解成99超標記,99超標記分解成98超標記,等等。另外,上標100意味著有100個#,這不應與E100#(100100)混淆。

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