超E符號

超E符號
基於	冪次
增長率	\(f_\omega(n)\)

超E符號（英語：Hyper-E Notation，簡稱E#）是由Sbiis Saibian設計的一個大數符號。這個記號首次在2011年11月19日於他的網路電子書從一到無窮大：有限數的指南被介紹，同時也推廣到了擴展超E符號（英語：Extended Hyper-E Notation，簡稱xE#）。超E符號是Sbiis Saibian於孩童時期所發明的符號的改進版。

E#和xE#都包含在更大的記號中，即擴展-E系統，這也包括連鎖E符號。

Nathan Ho和Wojowu證明了超E符號最終會終止。

原始定義

原始超E符號是由一個或多個正整數參數「a_n」及分隔參數的海柏利昂「#」所組成的。此記號寫起來會長成這樣：E[b]a₁#a₂#...#a_n。其中b是底數，如果它被忽略，那麼代表它等於預設值10。「E[b]d」也可表示為「b^d」。

超E符號的三條規則如下：

• 規則1. 如果沒有海柏利昂：

  \(E[b]x = b^x\)

• 規則2. 如果最後一項是1：

  \(E[b]{a_1}\#{a_2}\#\cdots\#{a_n}\#1 = E[b]{a_1}\#{a_2}\#\cdots\#{a_n}\)

• 規則3. 否則：

  \(E[b]{a_1}\#{a_2}\#\cdots\#{a_{n-2}}\#{a_{n-1}}\#{a_n}\)

  \(= E[b]{a_1}\#{a_2}\#\cdots\#{a_{n-2}}\#(E[b]{a_1}\#{a_2}\#\cdots\#{a_{n-2}}\#{a_{n-1}}\#({a_n-1}))\)

如果以中文來表達的話，就是：

1. 如果只有一個參數x，整個表達式的值為b^x。
2. 如果最後一項是1，它可以被去除。
3. 否則：
   1. 複製原表達式，但將最後一項減去1，將此表達式設為z。
   2. 將表達式的最後兩項去除。
   3. 在表達式的最後添加z這項參數。

擴展定義

Template:Function 擴展超E符號允許每個參數間出現多個海柏利昂。在參數a_n後出現的海柏利昂個數均會以h(n)表示。另外，#ⁿ代表連續n個海柏利昂標識。一個完整的表達式應當會寫成E[b]a₁#^h(1)a₂#^h(2)...#^h(n-1)a_n。另外，Saibian使用「@」表示不需操作、可以被忽略的表達式，就如同鮑爾斯的「#」一般。

原始和擴展符號的不同之處，在於擴展超E符號允許多於一個且連續的#。

為方便定義，這裡假設p = a_n-1, q = a_n, x = h(n-1)：

• 規則1. 如果沒有hyperions：

  \(E[b]q = b^q\)

• 規則2. 如果最後一項是1：

  \(@\#^{x}1 = @\)

• 規則3. 如果x > 1：

  \(@p\#^{x}q = @p\#^{x-1}(p\#^{x}(q-1))\)

• 規則4. 否則：

  \(@p\#q = @(@p\#(q-1))\)（注意\(\#^1 = \#\)）

也可以把這些規則寫成中文：

1. 如果只有一個參數x，整個表達式的值為b^x。
2. 如果最後一項是1，它可以被去除。
3. 設h為最後一個海柏利昂標識的長度。如果h > 1：
   1. 去除表達式的最後一項，並設那項為r。
   2. 再次去除新表達式的最後一項，並設那項為z。
   3. 此時複製出r個z，在每個z之間都接上h-1個海柏利昂標識。將此添加到表達式的結尾。
4. 如果最後一個海柏利昂標識的長度為1：
   1. 複製原表達式，但將最後一項減去1，將此表達式設為z。
   2. 將表達式的最後兩項去除。
   3. 在表達式的最後添加z這項參數。

例子

• E[10]6 = E6 = E6#1 = 10⁶ = 百萬
• E[10]100 = E100 = E100#1 = 10¹⁰⁰ = 古戈爾

  這是只有一個參數並應用規則1的例子。由於底數的預設值為10，我們可以將E[10]100縮寫為E100。

• E100#2 = E(E100#1) = E10¹⁰⁰ = 10¹⁰¹⁰⁰ = 古戈爾普勒克斯
• E100#3 = E(E100#2) = E10¹⁰¹⁰⁰ = 10^1010100 = 古戈爾度普勒克斯

  這是有兩個參數並應用規則3（在擴展定義為規則4）的例子。在第一個等號右邊的表達式中，括號可以被省略，例如：E(E100#1) = EE100#1。

• E303#1 = E303 = eceton = centillion = 10³⁰³
• E303#2 = ecetonplex = EE303 = 10¹⁰³⁰³
• E303#3 = EEE303 = 10^1010303 = ecetonduplex
• E1#3 = EEE1 = 10¹⁰¹⁰ = trialogue
• E1#4 = EEEE1 = 10¹⁰¹⁰¹⁰ = tetralogue
• E1#5=EEEEE1=10^10101010 =Pentalogue
• E1#10 = EEEEEEEEEE1 = 10^^10 = Decker
• E303#6 = EEEEEE303 = 10^{1010101010303} = ecetonquintiplex
• E1#100 = EEE...EEE1 (100 E's) = giggol

  這是規則3的重複應用：E1#100 = EE1#99 = EEE1#98 = ...

• E100#100 = EEE...EEE100 (100 E's) = grangol

  這和E1#100基本相同，差別在於第一項不同。

• E100#101 = EEE...EEE100 (101 E's) = grangolplex

  E100#101 = EE100#100 = 10^grangol，故名。

• E100#100#2 = E100#(E100#100) = EEE...EEE100 (grangol E's) = grangoldex

  現在表達式開始有三項數字。

• E100#100#3 = E100#(E100#100#2) = E100#(E100#(E100#100)) = EEE...EEE100 (grangoldex E's) = grangoldudex

  增加第三項的值，使嵌套越來越深。

• E100#100#100#100 = E100#100#(E100#100#100#99) = E100#100#(E100#100#(E100#100#100#98)) = ... gigangol

  這是四項表達式，但運作方式仍然類似。嵌套會越來越深。這也可以寫為E100##4，一個新的層次的開始。

• E100##100 = E100#100#100#...#100#100#100 with 100 repetitions of 100 = gugold

  現在已經到達擴展超E符號。兩個連續的海柏利昂標記（雙海柏利昂）是較低層次的重複。

• E100##100#100 = graatagold

  可以通過反覆應用規則4來簡化為Ea##b。

• E100##100##100 = E100##100#100#...#100#100 with 100 repetitions of 100 = gugolthra

  在##的後面所有100都已經解決後，第一個##才會被展開。

• E100###100 = E100##100##...##100##100 with 100 repetitions of 100 = throogol

  三超標記（三海柏利昂）是雙超標記的重複。雙超標記從右到左解決。

• E100####100 = E100###100###...###100###100 with 100 repetitions of 100 = teroogol

  四超標記分解成三超標記。

• Godgahlah = E100#####...#####100 with 100 hyperion marks or E100#¹⁰⁰100

  100超標記分解成99超標記，99超標記分解成98超標記，等等。另外，上標100意味著有100個#，這不應與E100#(¹⁰⁰100)混淆。