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階乘數陣記號
類型 多維
基於 嵌套階乘

階乘數陣記號(英語:Factorial array notation,縮寫FAN)是由Lawrence Hollom發明的大數記號,目前尚未完成。它是超階乘數陣記號的新版本。[1]

基礎 编辑

它的基礎是嵌套階乘記號,定義為:

  • \(n!^{k+1} = (n!^k)!\)
  • \(n!^1 = n!\)

這個記號的增長與迭代冪次近似。必須注意的是,\(n!^2 = (n!)! \neq n!!\),其中\(n!!\)是雙階乘,它的增長比\(n!\)(階乘)還慢。為了繼續延伸,我們需要新的記號。如同超階乘數陣記號和嵌套階乘記號的擴展一般,我們可以定義單項階乘數陣為:

  • \(n![1] = n!\)
  • \(n![k+1] = n![k]^n\)
  • \(n![m]^{k+1} = (n![m]^k)![m]\)

它的增長與超運算近似。

定義 编辑

為了方便定義,我們需要一些符號:

  • 以下符號均代表數陣的一部份字符串,也可以為空
  • ◆可以是任意的東西
  • ◇只由1和[組成(不包含])
  • ○只由1組成
  • 〚和〛分別代表任意個左方括號和右方括號

符號可以有不同顏色,用以區分數陣的不同部份。兩個配對的方括號的顏色一定是相同的。現在我們可以定義:

  • 規則1:n![◆]k+1 = (n![◆])![◆]k
  • 規則2:n![1]◆ = (n!)◆
  • 規則3:n!〚a+1◆] = n!〚a◆]n
  • 規則4:n![◇[○1,〚a+1◆]◆] = n![◇[[○1,〚a◆],〚1◆]◆]
  • 規則5:n![◇[1]◆] = n![◇n◆]
  • 規則C1:n![◆,1] = n![◆]

除了規則C1外,規則從前至後適用,即前面規則不適用才適用後面的規則。若要使用中文解釋規則,我們需要定義許多術語:

  • 底數:在n![...]表達式中的n;即「!」前面的數字。
  • 嵌套項:數陣的上標。
  • :數陣中的數字。例如3![1,2,4]中的「1」、「2」、「4」均為項。
  • 主項:數陣的第一項。如果數陣的第一項是數陣,則原數陣的主項就是它的主項。
  • 末項:數陣的最後一項。
  • 主數陣:不包含在另一數陣中的數陣。
  • 非起始項:主數陣中,在它之前有其他項的項。
  • 活動項:第一個非1項,它通常是數字,唯一的例外是「[1]」。如果第一個非1項是數陣,則原數陣的活動項就是它的活動項。
  • 接收項:活動項前的項。(當活動項是非起始項時它才存在)
  • 最深的數陣:????
  • 活動數陣:????

現在我們可以定義純中文規則:

  • 規則1:如果嵌套項大於1,將它減去1,並將底數換成「原數陣,但無嵌套項」。
  • 規則2:如果主數陣是「[1]」,將n![1]替換為n!。
  • 規則3:如果主項大於1,將它減去1,並添加等於底數的嵌套項。
  • 規則4:????
  • 規則5:如果活動項是「[1]」,將它換成底數。
  • 規則C1(不變的規則1):如果任何數陣的末項是1,且它不是主項,將其刪除。

來源 编辑

  1. Lawrence Hollom's large number site

參見 编辑

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