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鳥數陣記號
類型 超維度
增長率 \(f_{\vartheta(\Omega_\Omega)}(n)\)

鳥數陣記號(英語:Bird's array notation,縮寫BAN,另稱鳥之記號)是由克里斯·鳥所發明的大數記號。這是喬納森·鮑爾斯所創之擴展數陣記號的擴展,並在歷史和定義上與BEAF類似。

「簡單」數陣 编辑

線性和多維數陣 编辑

在線性和多維數陣上,BAN和BEAF相同。

  • 規則1. 如果只有1或2項,則\(\{a\} = a\), \(\{a,b\} = a^b\)(另外,\(\lbrace a \rbrace = a\)可從\(\{a,b\} = a^b\)推出,因為\(\{a\} = \{a,1\} = a^1 = a\))(規則2的逆推)。
  • 規則2. 如果尾項是1,可以將它去掉:\(\{\# 1\} = \{\#\}\)。(「#」表示數陣不變的部份)
  • 規則3. 如果第2項是1,則數陣的值等於首項:\(\{a,1 \#\} = a\)。
  • 規則4. 如果第3項是1:
    \(\{a,b,1,1,\cdots,1,1,c \#\} = \{a,a,a,a,\cdots,a,\{a,b-1,1,1,\cdots,1,1,c \#\},c-1 \#\}\)
  • 規則5. 否則:
    \(\{a,b,c \#\} = \{a,\{a,b-1,c \#\},c-1 \#\}\)

在多維數陣中,鳥使用\(a \langle c \rangle b\)這個記號,相當於鮑爾斯的\(b^c \& a\),它的規則為:

  • 規則A1. 如果\(c = 0\),\(\textrm` a \langle 0 \rangle b = a \textrm'\)。
  • 規則A2. 如果\(b = 1\),\(\textrm` a \langle c \rangle 1 = a \textrm'\)。
  • 規則A3. 否則,\(\textrm` a \langle c \rangle b \textrm' = \textrm` a \langle c - 1 \rangle b [c] a \langle c \rangle (b - 1) \textrm'\)。

主規則為:

  • 規則M1. 如果只有2項,\(\{a, b\} = a^b\)。
  • 規則M2. 如果\([m] < [n]\),\(\{\# [m] 1 [n] \#\} = \{\# [n] \#\}\)。(包含上面的規則2)
  • 規則M3. 如果第2項是1,\(\{a,1 \#\} = a\)。
  • 規則M4. 如果第2項後有未填充分隔符,後面接著非1項:
    \(\{a,b [m_1] 1 [m_2] \cdots 1 [m_x] c \#\}\)
    \(= \{a \langle m_1-1 \rangle b [m_1] a \langle m_2-1 \rangle b [m_2] \cdots a \langle m_x-1 \rangle b [m_x] (c-1) \#\}\)
  • 規則M5. 如果第2項後有未填充分隔符跟一串1,後面接著非1項:
    \(\{a,b [m_1] 1 [m_2] \cdots 1 [m_x] 1,1,\cdots,1,1,c \#\}\)
    \(= \{a \langle m_1-1 \rangle b [m_1] a \langle m_2-1 \rangle b [m_2] \cdots a \langle m_x-1 \rangle b [m_x] a,a,\cdots,a,R,c-1 \#\}\)
    其中\(R = \{a,b-1 [m_1] 1 [m_2] \cdots 1 [m_x] 1,1,\cdots,1,1,c \#\}\)
  • 規則M6. 如果第2項後有一串1:
    \(\{a,b,1,1,\cdots,1,1,c \#\} = \{a,a,a,a,\cdots,a,\{a,b-1,1,1,\cdots,1,1,c-1 \#\},c-1 \#\}\)
  • 規則M7. 上述規則不適用:
    \(\{a,b,c \#\} = \{a,\{a,b-1,c \#\},c-1 \#\}\)

例如,{3,3 [3] 1 [2] 1,1,1,4} = {3 <2> 3 [3] 3 <1> 3 [2] 3,3,{3,2 [3] 1 [2] 1,1,1,4},3}。

鳥使用\([m]\)作為維度分隔符,相當於BEAF的\((m - 1)\)分隔符。在BEAF中,數陣的默認值為1,分隔符默認值為0,而鳥的方法解決了這個問題。

在快速增長階層,線性和多維數陣分別對應極限序數\(\omega^\omega\)和\(\omega^{\omega^\omega}\)。

超維和嵌套數陣 编辑

接下來,可以允許分隔符變為數陣(如\([1, 1, 2]\))。在規則M1至M7上,只要把\([m_n]\)改為\([m_n \#]\)即可,其他不變。

尖括號規則需要修改。規則A3變為A4,然後訂定新的規則A3:

  • 規則A3. 如果尖括號的首項是0,且後面有非1項:
    \(a \langle 0,1,1,\cdots,1,1,c \# \rangle b = a \langle b,b,b,\cdots,b,b,c-1 \# \rangle b\)

這條規則與規則M4類似。

下一步是容許分隔符內含有分隔符,由此制定嵌套數陣記號。規則A3、A4分別替換為A4、A5,然後訂定新的規則A3、A4:

  • 規則A3. 如果\([A] < [B]\),\(a <\# [A] 1 [B] \#> b = a <\# [B] \#> b\)。
  • 規則A4. 如果尖括號的首項是0,且後面有非1項:
    \(a \langle 0 [A_1] 1 [A_2] \cdots 1 [A_n] c \# \rangle b\)
    \(= a \langle b \langle A_1-1 \rangle b [A_1] b \langle A_2-1 \rangle b [A_2] \cdots b \langle A_n-1 \rangle b [A_n] c-1 \# \rangle b\)

An和B是數陣,而Ai-1跟Ai的差別,只在於首項減去1。

分隔符的層級比較 编辑

在規則A3和M2中,需要確定分隔符的層級。首先,制定數陣的嵌套層級,我們可以記為Lev(A)。例如,假設A = \(\{3,3 [1 [1 [2] 2] 2] 2\}\),則Lev(A) = 3,因為最內層數陣[2]嵌套在[1 [2] 2]裡,它又嵌套在[1 [1 [2] 2] 2]裡,然後就是嵌套在主數陣裡了。非正式的說,Lev(A)就是從最內層嵌套到主數陣所需的次數。另外還有其他函數,Num(H,A)代表數陣A中,分隔符[H]的個數,如A = \(\{3,3 [1 [2] 1 [2] 1 [2] 2] 2] 2\}\),則Num(2,A) = 3。

假設我們要確定分隔符[A]和[B]哪個具有較高層級,則可以通過下列步驟:

  1. 設[A1]=[A], [A2]=[A1]和[B1]=[B], [B2]=[B1]。
  2. 如果Lev(A)>Lev(B),則[A]>[B],如果Lev(A)<Lev(B),則[A]<[B]。如果Lev(A)=Lev(B)>0,則前往步驟3,否則跳到步驟6。
  3. 設[A*]和[B*]是A2和B2中等級最高的分隔符。如果[A*]>[B*]則[A]>[B],如果[A*]<[B*]則[A]<[B],否則設[H]=[A*]=[B*],然後前往步驟4。
  4. 如果Num(H,A2)>Num(H,B2),則[A]>[B],如果Num(H,A2)<Num(H,B2),則[A]<[B],否則前往步驟5。
  5. 在A2和B2中,刪除最後的[H]分隔符及前面的所有項,然後回到步驟2。
  6. 現在,A2和B2變為[a]和[b],其中a和b是簡單的數。所以,如果[a]<[b],則[A]<[B],如果[a]>[b],則[A]>[B],否則前往步驟7。
  7. 在A1和B1中,除去最後一項和它前面的分隔符。如果A1和B1是空的,那麼[A]=[B],否則回到步驟2。

超嵌套數陣 编辑

反斜杠數陣 编辑

為了超越嵌套數陣記號,鳥定義了特殊的分隔符,[1 \ c],具體定義如下:

  • \(\{a,b [1 \backslash c] 2\} = \{a \langle 0 \backslash c \rangle b\} = \{a \langle b \langle b \langle b \langle \cdots b \langle b \rangle b \cdots \rangle b \backslash c-1 \rangle b \backslash c-1 \rangle b \backslash c-1 \rangle b\}\)(從中間到右邊有b個b)
  • \(\{a,b [A \backslash 1] 2\} = \{a,b [A] 2\}\)(A是任意數陣)

這個記號允許我們在反斜杠前套用一般數陣,如[1 [2] 2 \ 2]或[1 [1 \ 2] 2 \ 2]。反斜杠不能放在底層(外圍無方括號的層級),例如{3, 3 \ 2}是不合法的。

鳥進一步將其擴展,除了單個反斜杠外,也可使用多個反斜杠,甚至是反斜杠陣。他用[A]\代表反斜杠陣A。有新的3個規則用來處理反斜杠陣:

  • 規則B1. 如果反斜杠維度是0或1:
    • \(a \langle 0 \rangle\backslash b = a\)
    • \(a \langle 1 \rangle\backslash b = a \backslash a \backslash \cdots \backslash a \backslash a\)(b個a)
  • 規則B2. 第一個非1項(首項不計入)前是反斜杠:
    • \(a \langle 0 [A_1]\backslash 1 [A_2]\backslash \cdots 1 [A_n]\backslash 1 \backslash c \# \rangle b\)
      \(= a \langle b \langle A_1' \rangle\backslash b [A_1]\backslash b \langle A_2' \rangle\backslash b [A_2]\backslash \cdots b \langle A_n' \rangle\backslash b [A_n]\backslash R_{b-1} \backslash c-1 \# \rangle b\)
    • \(R_n = b \langle b \langle A_1' \rangle b [A_1]\backslash b \langle A_2' \rangle b [A_2]\backslash \cdots b \langle A_n' \rangle\backslash b [A_n]\backslash R_{n-1} \backslash c-1 \# \rangle b\)
    • \(R_1 = b\)
  • 規則B3. 否則:
    • \(a \langle 0 [A_1]\backslash 1 [A_2]\backslash \cdots 1 [A_n]\backslash 1 [B_1] 1 [B_2] \cdots 1 [B_n] c \# \rangle b\)
      \(= a \langle b \langle A_1' \rangle\backslash b [A_1]\backslash b \langle A_2' \rangle\backslash b [A_2]\backslash \cdots b \langle A_n' \rangle\backslash b [A_n]\backslash\)
      \(b \langle B_1' \rangle b [B_1] b \langle B_2' \rangle b [B_2] \cdots b \langle B_n' \rangle b [B_n] c-1 \# \rangle b\)

這個符號的限制是費佛曼-舒特序

嵌套超嵌套數陣 编辑

2級超分隔符 编辑

現在,我們需要一個分隔符,用來表示任何級別的反斜杠嵌套。在鳥的文件「Beyond Bird's Nested Arrays I」中,他使用正斜杠來表示反斜杠的嵌套:

\(\{a,b [1 / 2] 2\} = \{a \langle 0 / 2 \rangle b\} = \{a \langle b \langle b \langle b \cdots b \langle b \rangle\backslash b \cdots b \rangle\backslash b \rangle\backslash b \rangle b\}\)(從中間到右邊有b個b,而反斜杠有b-2個)

接下來,鳥指出分隔符[A]\(反斜杠陣A)可改寫為\([A \neg 2]\),因此我們能夠把正斜杠寫為\([1 \neg 3]\)。然而,為了更便於推廣,\([1 \neg 3]\)的定義跟正斜杠有點不同,即:

\(\{a,b [1 [1 \neg 3] 2] 2\} = \{a \langle 0 [1 \neg 3] 2 \rangle b\} = \{a \langle b \langle b \langle b \cdots b \langle b \rangle\backslash b \cdots b \rangle\backslash b \rangle\backslash b \rangle b\}\)(從中間到右邊有b+1個b,而反斜杠有b-1個)

然後,我們可以延伸\([1 \neg 3]\)到\([A \neg 3]\),就像從反斜杠延伸到\([A \neg 2]\)。注意,反斜杠相當於\([1 \neg 2]\)分隔符。

因此,我們可以嵌套\(\neg 3\),它的限制可以寫為\([1 \neg 4]\)。不難看出這裡的模式,可以由此定義\([1 \neg n]\)分隔符:

\(\{a,b [1 [1 \neg n] 2] 2\} = \{a \langle 0 [1 \neg n] \rangle b\} = \{a \langle b \langle b \langle b \cdots b \langle b \neg n-1\rangle b \neg n-1\rangle b \cdots b \neg n-1\rangle b \neg n-1\rangle b \rangle b\}\)(從中間到右邊有b+1個b,而\(\neg n-1\)有b-1個)

一般來說,我們需要定義一套規則,使我們能夠處理\([A \neg n]\)。我們不需要重寫主規則,它們和嵌套數陣記號一樣。只有尖括號規則需要改變。

  • 規則A1. 尖括號的數字為0:
    \(a \langle 0 \rangle b = a\)
  • 規則A2. b = 1:
    \(a \langle A \rangle 1 = a\)
  • 規則A3. [A] < [B]:
    \(a \langle\# [A] 1 [B] \#\rangle b = a \langle\# [B] \#\rangle b\)
  • 規則A4. 第一項是0,c前為正常分隔符(非\([1 \neg n]\)的分隔符,其中n > 1):
    \(a \langle 0 [A_1] 1 [A_2] \cdots 1 [A_m] c \# \rangle b\)
    \(= a \langle b \langle A_1-1 \rangle b [A_1] b \langle A_2-1 \rangle b [A_2] \cdots b \langle A_m-1 \rangle b [A_m] c-1 \# \rangle b\)
  • 規則A5. 第一項是0,c前為反斜杠:
    \(a \langle 0 [A_1] 1 [A_2] \cdots 1 [A_m] 1 \backslash c \# \rangle b\)
    \(= a \langle b \langle A_1-1 \rangle b [A_1] b \langle A_2-1 \rangle b [A_2] \cdots b \langle A_m-1 \rangle b [A_m] b \langle R_b \rangle b \backslash c-1 \# \rangle b\)
    • \(R_n = b \langle A_1-1 \rangle b [A_1] b \langle A_2-1 \rangle b [A_2] \cdots b \langle A_m-1 \rangle b [A_m] b \langle R_{n-1} \rangle b \backslash c-1 \# \rangle b\) (n > 1)
    • \(R_1 = 0\)
  • 規則A6. 第一項是0,c前為\([1 \neg n]\) (n > 2):
    \(a \langle 0 [A_1] 1 [A_2] \cdots 1 [A_m] 1 [1 \neg n] c \# \rangle b\)
    \(= a \langle b \langle A_1-1 \rangle b [A_1] b \langle A_2-1 \rangle b [A_2] \cdots b \langle A_m-1 \rangle b [A_m] b \langle R \rangle b [1 \neg n] c-1 \# \rangle b\)
    • \(R = b \langle A_1-1 \rangle b [A_1] b \langle A_2-1 \rangle b [A_2] \cdots b \langle A_m-1 \rangle b [A_m] R_b [1 \neg n] c-1 \# \rangle b\)
    • \(R_n = b \langle A_1-1 \rangle b [A_1] b \langle A_2-1 \rangle b [A_2] \cdots b \langle A_m-1 \rangle b [A_m] b \langle R_{b-1} \rangle b [1 \neg n] c-1 \# \neg n-1 \rangle b\) (n > 1)
    • \(R_1 = 0\)
  • 規則A7. 規則A1-A6不適用:
    \(a \langle c \# \rangle b = a \langle c-1 \# \rangle b [c] a \langle c \# \rangle b-1\).

這個符號的增長率達到\(\vartheta(\Omega^\omega)\),即小凡勃倫序

2級超分隔符數陣 编辑

我們定義\(\{a \langle 0 [1 \neg 1,2] 2 \rangle b\} = \{a \langle b [b \neg b] b \rangle b\}\)。它和\(\{a,b [1 \backslash 1, 2] 2\} = \{a \langle b \backslash b \rangle b\}\)非常相似。它的增長率為\(\vartheta(\Omega^\omega)\)。為了推廣它,我們重新定義規則A2:

  • 規則A2. 方括號中,如果分隔符後有1:
    • 情況1. 1是最後一項,在分隔符後:
      \(a \langle \# [ A ] 1 \rangle b = a \langle \# \rangle b\)
    • 情況2 1被夾在分隔符與\(\neg\)中:
      \(a \langle \# [ A ] 1 \neg n \rangle b = a \langle \# \neg n \rangle b\)
    • 情況3 1在\(\neg\)後:
      \(a \langle \# \neg 1 \rangle b = a \langle \# \rangle b\)
    • 接下來,如果[A]比[B]小,或者只有[B]是超分隔符:
    • 情況4 1夾在A和B中,並且最後不是\(\neg n\):
      \(a \langle \# [ A ] 1 [ B ] \# \rangle b = a \langle \# [B] \# \rangle b\)
    • 情況5 否則:
      \(a \langle \# [ A ] 1 [ B ] \# \neg n \rangle b = a \langle \# [B] \# \neg n \rangle b\)

其中,兩個#不一定相同。這個記號的極限是大凡勃倫序

參見 编辑

外部連結 编辑

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