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=== Second attempt === Let's generalize the concept of "structure" to help out our definition. * \(0\) is a structure. * If \(\alpha\) is a structure, \(X^\alpha\) is also a structure. * If \(\alpha\) and \(\beta\) are structures, \(\alpha + \beta\) is also a structure. This allows things like \(2X\) and \(4X^X + X + 1\), and works up until our limit of \(X \uparrow\uparrow X\). Furthermore, let's define a '''limit structure''' as one of the form \(X^\alpha\) for \(\alpha > 0\) or \(\alpha+\beta\) for \(\alpha\) and \(\beta\) being limit structures, and a '''successor structure''' as one of the form \(\alpha + 1\). Now we'll recursively define the prime block of a structure \(\alpha[p]\). * \(0[p] = \{\}\) * \((\alpha + 1)[p] = \alpha[p] \cup \{\text{the last entry of }\alpha + 1\}\) *\(X[p] = p\) and \(X^{\alpha + 1}[p] = X^{\alpha} p\) *\(X^{\alpha}[p] = X^{\alpha[p]}\) if and only if \(\alpha\) is a limit structure. *\((X^{\alpha_1} + X^{\alpha_2} + \cdots + X^{\alpha_{k - 1}} + X^{\alpha_k})[p] = (X^{\alpha_1} + X^{\alpha_2} + \cdots + X^{\alpha_{k - 1}} )[p] \cup X^{\alpha_k}[p])\) where \(\alpha_k\) is the smallest \(\alpha_i\) *\(X\uparrow\uparrow X[0] = 1\) and \(X\uparrow\uparrow X[p] = X^{X\uparrow\uparrow X[p-1]}\) If you are confused by now, skip it. All you need an intuitive conception of how this works. There's one final step. Notice how we used the word "smallest" in the definition above, but structures aren't numbers and we haven't yet defined an ordering. This is easy: * \(\alpha < \alpha + X^0\) * \(X^\alpha < X^\beta\) iff \(\alpha < \beta\) * \(\alpha + \gamma < \beta + \gamma\) iff \(\alpha < \beta\) And we're done! Tetrational arrays. But can we make this simpler?
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